Quadratische Gleichungen tauchen in der Schule, in der Physik und bei vielen Optimierungsfragen auf. Mit der pq-Formel lassen sie sich zuverlässig lösen. Hier erfährst du, wie du eine Gleichung in die richtige Form bringst und die Formel sicher anwendest.
Was ist eine quadratische Gleichung?
Eine quadratische Gleichung enthält die Unbekannte in der zweiten Potenz, also als x². Die allgemeine Form lautet ax² + bx + c = 0. Damit du die pq-Formel nutzen kannst, brauchst du die Normalform, bei der vor dem x² eine 1 steht:
x² + px + q = 0
Steht vor dem x² eine andere Zahl, teilst du die ganze Gleichung zuerst durch diese Zahl.
Die pq-Formel
Die Lösungen der Normalform berechnest du mit:
x = −p/2 ± √((p/2)² − q)
Das Zeichen ± bedeutet, dass es in der Regel zwei Lösungen gibt: eine mit Plus, eine mit Minus vor der Wurzel.
Beispiel: x² − 6x + 8 = 0. Hier ist p = −6 und q = 8.
- −p/2 = 3
- (p/2)² − q = 9 − 8 = 1
- x = 3 ± √1 = 3 ± 1
Die beiden Lösungen sind also x₁ = 4 und x₂ = 2. Diesen Rechenweg zeigt der pq-Formel-Rechner Schritt für Schritt.
Die Diskriminante: wie viele Lösungen gibt es?
Der Ausdruck unter der Wurzel, (p/2)² − q, heißt Diskriminante und entscheidet über die Anzahl der Lösungen:
- Positiv: zwei verschiedene Lösungen.
- Null: genau eine (doppelte) Lösung.
- Negativ: keine reelle Lösung, denn aus einer negativen Zahl lässt sich keine reelle Wurzel ziehen.
Bevor du also weiterrechnest, lohnt ein Blick auf das Vorzeichen unter der Wurzel. Beim Ziehen der Wurzel hilft der Wurzelrechner.
Vorzeichen richtig einsetzen
Die häufigste Fehlerquelle sind die Vorzeichen von p und q. Bei x² − 6x + 8 = 0 ist p = −6 (mit Minus!) und q = +8. In der Formel wird daraus −p/2 = −(−6)/2 = 3. Schreibe die Werte mit Vorzeichen sauber auf, bevor du einsetzt. Wer mit den Quadraten unsicher ist, kann sie mit dem Potenzrechner prüfen.
Praktische Tipps
- Bringe die Gleichung zuerst in die Normalform x² + px + q = 0.
- Achte penibel auf die Vorzeichen von p und q.
- Prüfe die Diskriminante, bevor du die Wurzel ziehst.
- Setze deine Lösungen zur Kontrolle in die ursprüngliche Gleichung ein.
Häufige Fragen
Wann benutzt man die pq-Formel? Immer dann, wenn eine quadratische Gleichung in der Normalform x² + px + q = 0 vorliegt. Steht vor dem x² ein anderer Faktor, teilst du zuerst durch ihn.
Warum hat eine quadratische Gleichung manchmal keine Lösung? Wenn die Diskriminante (der Ausdruck unter der Wurzel) negativ ist, gibt es keine reelle Lösung, weil man aus negativen Zahlen keine reelle Wurzel ziehen kann.
Was ist der Unterschied zwischen pq-Formel und abc-Formel? Die pq-Formel setzt die Normalform voraus (Faktor 1 vor x²). Die abc-Formel (Mitternachtsformel) funktioniert direkt mit der allgemeinen Form ax² + bx + c = 0.