Potenzen und Wurzeln gehören zusammen wie Plus und Minus: Die eine Rechenart macht die andere rückgängig. Sie kürzen lange Multiplikationen ab und tauchen überall auf, von Flächen über Zinseszins bis zur Naturwissenschaft. Hier lernst du die Grundregeln kennen.
Was ist eine Potenz?
Eine Potenz ist eine abgekürzte Schreibweise für wiederholtes Multiplizieren. Statt 2 × 2 × 2 schreibt man 2³.
- Die Basis ist die Zahl, die multipliziert wird (hier 2).
- Der Exponent (auch Hochzahl) gibt an, wie oft (hier 3).
2³ = 2 × 2 × 2 = 8. Man liest „zwei hoch drei”. Besondere Fälle: Jede Zahl hoch 1 ist sie selbst, und jede Zahl (außer 0) hoch 0 ergibt 1.
Die wichtigsten Potenzgesetze
Mit ein paar Regeln rechnest du sicher mit Potenzen, ohne sie auszuschreiben:
- Gleiche Basis multiplizieren: Exponenten addieren. 2³ × 2² = 2⁵.
- Gleiche Basis dividieren: Exponenten subtrahieren. 2⁵ ÷ 2² = 2³.
- Potenz einer Potenz: Exponenten multiplizieren. (2³)² = 2⁶.
- Negativer Exponent: Kehrwert bilden. 2⁻² = 1 ÷ 2² = 1/4.
Den genauen Wert einer Potenz liefert dir der Potenzrechner, auch bei großen Exponenten.
Was ist eine Wurzel?
Die Wurzel ist die Umkehrung der Potenz. Die Quadratwurzel fragt: „Welche Zahl ergibt, mit sich selbst multipliziert, den Wert unter der Wurzel?”
√25 = 5, weil 5 × 5 = 25.
Allgemein ist die Wurzel die Umkehrung des Quadrierens. Es gibt auch höhere Wurzeln, etwa die dritte Wurzel (Kubikwurzel): ∛8 = 2, weil 2³ = 8.
Wurzeln und Potenzen hängen zusammen
Eine Wurzel lässt sich als Potenz mit gebrochenem Exponenten schreiben: √x = x^(1/2). Das erklärt, warum dieselben Rechenregeln gelten. Wenn du eine Wurzel ziehen willst, hilft dir der Wurzelrechner mit Quadrat- und höheren Wurzeln.
Verbindung zum Logarithmus
Während die Wurzel die Basis sucht, sucht der Logarithmus den Exponenten: Bei 2^x = 8 ist x = 3. Diese dritte Rechenart rund um die Potenz erklärt der Logarithmus-Rechner im Detail.
Praktische Tipps
- Quadratzahlen bis 12 (1, 4, 9, 16, 25 …) lohnt es sich auswendig zu kennen.
- Achte auf das Minuszeichen: −3² ist −9, aber (−3)² ist +9.
- Nicht jede Wurzel ist eine glatte Zahl. √2 ist ungefähr 1,414 – eine unendliche Dezimalzahl.
- Wurzeln aus negativen Zahlen gibt es im Bereich der reellen Zahlen nicht.
Häufige Fragen
Was bedeutet hoch 2 oder hoch 3? Hoch 2 (Quadrat) heißt, die Zahl wird mit sich selbst multipliziert. Hoch 3 (Kubik) heißt dreimal. Der Exponent gibt die Anzahl der Faktoren an.
Wie zieht man eine Wurzel? Du suchst die Zahl, die mit sich selbst multipliziert den Wert unter der Wurzel ergibt. Bei krummen Werten nutzt man am besten einen Rechner.
Was ist eine Zahl hoch 0? Jede Zahl außer null ergibt hoch 0 immer 1. Das folgt aus den Potenzgesetzen für das Dividieren gleicher Basen.