Eine Quadratwurzel zu ziehen heißt, die Zahl zu finden, die mit sich selbst multipliziert den Ausgangswert ergibt. √25 = 5, weil 5 · 5 = 25. Bei „krummen” Zahlen wie √20 hilft ein Schätzverfahren, mit dem du auch ohne Taschenrechner erstaunlich genau wirst. Diese Anleitung zeigt das sogenannte Heron-Verfahren in einfachen Schritten.
Schritt 1: Quadratzahlen wiederholen
Präg dir die ersten Quadratzahlen ein: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100. Bei glatten Wurzeln liest du das Ergebnis direkt ab: √64 = 8. Diese Zahlen sind auch die Stützpunkte für jede Schätzung.
Schritt 2: Wurzel einkreisen
Suche die beiden Quadratzahlen, zwischen denen dein Wert liegt. Beispiel √20: Es liegt zwischen 16 (= 4²) und 25 (= 5²). Die Wurzel liegt also zwischen 4 und 5, und weil 20 näher an 16 liegt, eher bei 4,4 bis 4,5.
Schritt 3: Erste Schätzung wählen
Wähle einen Startwert x₀ aus dem eingekreisten Bereich, zum Beispiel x₀ = 4,5. Eine grobe Schätzung reicht völlig – das Verfahren verbessert sie im nächsten Schritt automatisch.
Schritt 4: Näherung verbessern
Wende die Heron-Formel an: x_neu = (x_alt + a / x_alt) / 2, wobei a die Zahl unter der Wurzel ist. Für √20 mit x₀ = 4,5: x₁ = (4,5 + 20/4,5) / 2 = (4,5 + 4,444) / 2 ≈ 4,472. Eine weitere Runde mit 4,472 ergibt bereits ≈ 4,4721 – sehr nah am echten Wert.
Schritt 5: Ergebnis prüfen
Quadriere dein Ergebnis zur Kontrolle: 4,4721² ≈ 19,9997 ≈ 20. Passt das ungefähr, ist die Näherung gut. Den exakten Wert und die Probe liefert dir der Wurzelrechner sofort.
Tipps
- Schon eine oder zwei Runden der Heron-Formel liefern meist mehrere genaue Nachkommastellen.
- Für höhere Potenzen und das Gegenstück zur Wurzel hilft der Potenzrechner.
- Quadratwurzeln tauchen auch beim Lösen quadratischer Gleichungen auf – siehe pq-Formel-Rechner.
Häufige Fragen
Kann ich die Wurzel aus einer negativen Zahl ziehen? Im Bereich der reellen Zahlen nicht, da kein reelles Ergebnis existiert. Erst die komplexen Zahlen erlauben das.
Wie genau ist das Schätzverfahren? Sehr genau. Das Heron-Verfahren verdoppelt grob die Anzahl korrekter Stellen pro Runde, sodass wenige Schritte ausreichen.
Was ist die Wurzel aus 0 und aus 1? √0 = 0 und √1 = 1, da 0 · 0 = 0 und 1 · 1 = 1.