Die pq-Formel ist das Standardwerkzeug, um quadratische Gleichungen zu lösen. Sie funktioniert immer dann, wenn die Gleichung in der Normalform x² + px + q = 0 vorliegt. Diese Anleitung zeigt, wie du jede quadratische Gleichung in die richtige Form bringst und die Nullstellen sicher berechnest.
Schritt 1: Gleichung in Normalform bringen
Die pq-Formel setzt die Form x² + px + q = 0 voraus, bei der vor dem x² eine 1 steht. Steht dort ein anderer Faktor (z. B. 2x² + 6x + 4 = 0), teilst du die ganze Gleichung durch diesen Faktor: x² + 3x + 2 = 0. Bring außerdem alle Glieder auf eine Seite, sodass rechts 0 steht.
Schritt 2: p und q ablesen
In der Normalform ist p die Zahl vor dem x und q die Zahl ohne x. Bei x² + 3x + 2 = 0 ist p = 3 und q = 2. Achte auf die Vorzeichen: Bei x² − 5x + 6 = 0 ist p = −5 und q = 6.
Schritt 3: Diskriminante berechnen
Berechne den Ausdruck unter der Wurzel, die Diskriminante D = (p/2)² − q. Sie verrät, wie viele Lösungen es gibt: Ist D > 0, gibt es zwei Lösungen; ist D = 0, gibt es eine; ist D < 0, gibt es keine reelle Lösung. Für p = 3, q = 2: D = (1,5)² − 2 = 2,25 − 2 = 0,25.
Schritt 4: Formel einsetzen
Die pq-Formel lautet: x = −p/2 ± √((p/2)² − q). Setze die Werte ein: x = −1,5 ± √0,25 = −1,5 ± 0,5. Die Wurzel kannst du mit dem Wurzelrechner ziehen, falls sie nicht glatt aufgeht.
Schritt 5: Lösungen bestimmen
Berechne beide Fälle einzeln. x₁ = −1,5 + 0,5 = −1 und x₂ = −1,5 − 0,5 = −2. Die Gleichung x² + 3x + 2 = 0 hat also die Lösungen x₁ = −1 und x₂ = −2. Setze sie zur Probe wieder ein. Den kompletten Rechenweg prüfst du mit dem pq-Formel-Rechner.
Tipps
- Vergiss das ±-Zeichen nicht – du erhältst meist zwei Lösungen.
- Halbiere p sauber, bevor du quadrierst; das ist die häufigste Fehlerquelle.
- Ist q = 0, kannst du x ausklammern statt die Formel zu nutzen: x² + px = x(x + p) = 0.
Häufige Fragen
Wann darf ich die pq-Formel verwenden? Immer, wenn die Gleichung in der Form x² + px + q = 0 vorliegt. Steht vor x² ein anderer Faktor, teilst du zuerst durch ihn.
Was bedeutet eine negative Diskriminante? Dann gibt es keine reelle Lösung – die Parabel schneidet die x-Achse nicht. Lösungen gäbe es nur im Bereich der komplexen Zahlen.
Ist die pq-Formel dasselbe wie die Mitternachtsformel? Beide lösen quadratische Gleichungen. Die Mitternachtsformel (abc-Formel) funktioniert auch ohne Normalform, die pq-Formel setzt sie voraus.